蔵本モデルの概要

N 体の振動子からなる蔵本モデルは次の微分方程式で表される。

\theta_i, \omega_i は i 番目の振動子の位相と自然振動数、K は結合強度を意味する。

自然振動数 \omega_i は確率密度関数 g(\omega) に従う。 今回のシミュレーションでは、コーシー分布 g(\omega; \omega_0, \gamma) を考える。 コーシー分布の確率密度関数は、

で記述される。

次に秩序変数 z を定義する。

r(t) の大きさを見ることで、振動子が同期しているかどうかが分かる。 r(t) が 1 に近いほど同期しており、0 に近いほど同期していない事を表している。

秩序変数を使って、(1) 式を次のように書き直すことができる。

この導出は、方程式

の虚部だけ考えると、

が得られるので、これを (1) 式に代入すれば良い。

g(\omega) がコーシー分布のときに、N\rightarrow \infty の r(t) の値は解析的に求まることが知られている。 結果だけ以下に書いておく。

数値シミュレーション

常微分方程式の数値解法の一つにオイラー法がある。 (1) 式に前進オイラー法を適用すると、

が得られる。 \theta_i^t は時刻 t における i 番目の振動子の位相、\delta t は時間幅である。これを愚直に実装すると、1ステップあたりの計算量は O(N^2) になる。

(3) 式に前進オイラー法を適用すると、

が得られる。この場合、1ステップあたりの計算量は O(N) になる。

参考